三大微分中值定理的证明与应用¶
微分中值定理包括罗尔定理，拉格朗日中值定理（微分中值定理），柯西中值定理（广义微分中值定理）。他们是研究函数的有力工具，其中最重要的内容是拉格朗日定理，可以说其他中值定理都拉格朗日中值定理的特殊情况或推广。微分中值定理反映导数的局部性与函数的整体性之间的关系，应用十分广泛。如证明一些特殊的不等式，使用微分中值定理证明函数单调性与导数的关系，证明恒等式等。而他们的推论如洛必达法则，泰勒公式等也是可以处理许多复杂的问题，计算不定式的值，构造出一个与已知函数近似的多项式函数，大大方便了一些初等函数的积分（如\(\int e^{x^2}\)不是初等函数)。
1. 罗尔定理¶
我们先从最特殊的定理入手，以这个定理作为跳板，证明接下来两个定理。
内容
如果函数f(x)满足：
- 在闭区间[a,b]上连续；
- 在开区间(a,b)内可导；
- 在区间端点处的函数值相等，即\(f(a) = f(b)\)，
那么在(a,b)内至少有一点\(\xi\in (a, b)\),\(f'(\xi) = 0\)
几何上，罗尔定理的条件表示，曲线弧 （方程为 ）是一条连续的曲线弧 ，除端点外处处有不垂直于x轴的切线，且两端点的纵坐标相等。而定理结论表明：弧上至少有一点 ，曲线在该点切线是水平的。
更直观的理解，则
对于一段两端等高的曲线弧，则总存在一点水平的切线
证明
因为为在闭区间[a,b]上，函数必有最大，最小值。则不妨设最小值为m,最大值为M(1)M=m显然f(x)在[a,b]上是个常数所以ξ可以是每一个值f(ξ)=M=m(2)M≠m则端点值f(a)不可能同时等于M,m设f(a)=f(b)≠M所以(a,b)上至少有一个点取到M则设f(ξ)=M则f(ξ)左导数≤0,右导数≥0f′(ξ)=0综上，总有一个ξ∈(a,b)使它的切线水平因为为在闭区间[a,b]上，函数必有最大，最小值。则不妨设最小值为m,最大值为M(1)M=m显然f(x)在[a,b]上是个常数所以ξ可以是每一个值f(ξ)=M=m(2)M≠m则端点值f(a)不可能同时等于M,m设f(a)=f(b)≠M所以(a,b)上至少有一个点取到M则设f(ξ)=M则f(ξ)左导数≤0,右导数≥0f′(ξ)=0综上，总有一个ξ∈(a,b)使它的切线水平
2. 拉格朗日中值定理¶
内容
如果函数f(x)满足：
- 在闭区间[a,b]上连续；
- 在开区间(a,b)内可导；
那么在(a,b)内至少有一点ξξ(a<ξ<ba<ξ<b)，使得 f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a))=0.
这个定理与罗尔定理十分类似，其最大的不同就是取消了f(a)=f(b)f(a)=f(b)这一条件，而这也使得此定理应用比罗尔定理广泛的多。
f(b)−f(a)b−af(b)−f(a)b−a 其实就是一条过函数两个端点的直线斜率
则在这一段函数中，有一点切线斜率为上述的值。
因为形态类似，所以我们考虑使用罗尔定理证明
如果我们把这个函数放平，使他的端点值处在同一个高度，则证明将会变得十分简单
其中我们发现，端点值与经过这个端点的直线距离正好为0，所以我们考虑g(x)=f(x)−[f(a)+f(b)−f(a)b−a(x−a)]g(x)=f(x)−[f(a)+f(b)−f(a)b−a(x−a)],正是这个函数把原来不特殊的函数变得符合罗尔定理的使用条件。
则应用罗尔定理，易证得拉格朗日中值定理。
3. 柯西中值定理¶
如果函数f(x)f(x)及F(x)F(x)满足
(1)在闭区间[a,b][a,b]上连续；
(2)在开区间(a,b)(a,b)内可导；
(3)对任一x∈(a,b)x∈(a,b)，F′(x)≠0F′(x)≠0
那么在(a,b) 内至少有一点ξξ，使等式[f(b)−f(a)][F(b)−F(a)]=f′(ξ)F′(ξ)[f(b)−f(a)][F(b)−F(a)]=f′(ξ)F′(ξ)成立
由拉格朗日中值定理
F(b)−F(a)=F′(ξ)(b−a)F(b)−F(a)=F′(ξ)(b−a)
所以我们可以由此把结论改写为
f′(ξ)−f(b)−f(a)F(b)−F(a)F′(ξ)=0f′(ξ)−f(b)−f(a)F(b)−F(a)F′(ξ)=0
并继续构造函数使得命题可以由罗尔定理推出。
g(x)=f(x)−f(b)−f(a)F(b)−F(a)F′(x)g(a)=g(b)=f(a)F(b)−f(b)F(a)F(b)−F(a)g(x)=f(x)−f(b)−f(a)F(b)−F(a)F′(x)g(a)=g(b)=f(a)F(b)−f(b)F(a)F(b)−F(a)
满足条件。
所以命题得证。
这个定理沟通了函数比与导数比。事实上，当F(x) = x时这个定理就是拉格朗日中值定理。
4.应用¶
这三个定理的应用十分广泛，这里选择洛必达法则作为例子。
设(1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于0或∞0或∞；
(2)在点a的去心邻域内，f’(x)及F’(x)都存在且F’(x)≠0；
(3)当时limx→af′(x)F′(x)limx→af′(x)F′(x)存在(或为无穷大)，那么
limx→af(x)F(x)=f′(x)F′(x)limx→af(x)F(x)=f′(x)F′(x)
证明
在x0空心邻域取x由于柯西中值定理,f(x)−f(x0)F(x)−F(x0)=f′(ξ)F′(ξ)x→x0;ξ→x0得证。在x0空心邻域取x由于柯西中值定理,f(x)−f(x0)F(x)−F(x0)=f′(ξ)F′(ξ)x→x0;ξ→x0得证。
利用这个结论，我们可以解决未定式求值的问题
limx→1x4−1x3−1=limx→14x33x2=limx→14x3=43limx→1x4−1x3−1=limx→14x33x2=limx→14x3=43
5.结尾¶
利用好三大中值定理，可以极大简化计算，想到更优的解法。
（\(\LaTeX\)崩了，将就看吧）